Egipto

Artículo principal: Matemáticas en el Antiguo Egipto

Las matemáticas en el Antiguo Egipto se refieren a las matemáticas escritas en las lenguas egipcias. Desde el periodo helenístico, el griego sustituyó al egipción como el lenguaje escrito de los escolares egipcios y desde ese momento las matemáticas egipcias se fundieron con las griegas y babilónicas para dar lugar a las matemática helénica. El estudio de las matemáticas en Egipto continuó más tarde bajo el imperio árabe como parte de las matemáticas islámicas, cuando el árabe se convirtió en el lenguaje escrito de los escolares egipcios.

El texto matemático más antiguo descubierto es el papiro de Moscú, que data del Imperio Medio de Egipto, hacia el 2000-1800 a. C. Como muchos textos antiguos, consiste en lo que hoy se llaman problemas con palabras o problemas con historia, que tienen la intención aparente de entretener. Se considera que uno de los problemas es de particular importancia porque ofrece un método para encontrar el volumen de un tronco: "Si te dicen: Una pirámide truncada [de base cuadrada] de 6 de altura vertical, por 4 en la base [base inferior] y 2 en lo alto [base superior]. Haces el cuadrado de 4 y resulta 16. Doblas 4 y resulta 8. Haces el cuadrado de 2 y resulta 4. Sumas el 16, el 8 y el 4 y resulta 28. Tomas un tercio de 6 y resulta 2. Tomas 28 dos veces y resulta 56. Mira, es 56. Encontrarás lo correcto."

El papiro de Rhind (hacia 1650 a. C.) es otro texto matemático egipcio fundamental, un manual de instrucciones en aritmética y geometría. En resumen, proporciona fórmulas para calcular áreas y métodos para la multiplicación, división y trabajo con fracciones unitarias. También contiene pruebas de otros conocimientos matemáticos, incluyendo números compuestos y primos; media aritmética, geométrica y armónica; y una comprensión simple de la criba de Eratóstenes y la teoría de números perfectos, a saber, del número 6). El papiro también muestra cómo resolver ecuaciones lineales de primer orden, así como series aritméticas y series geométricas.

Además, tres elementos geométricos del papiro de Rhind sugieren los rudimentos de la geometría analítica: (1) primero y más importante, cómo obtener una aproximación de π con un error menor del 1%; (2) segundo, un antiguo intento de cuadrar el círculo; y (3) tercero, el uso más antiguo conocido de un tipo de cotangente.

Finalmente, el papiro de Berlín (hacia 1300 a. C.) muestra que los antiguos egipcios podían resolver una ecuación cuadrática

Franklin Johan Díaz Hernández

C.I. 14.782.819

EES  SECC: 1

Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."

Los inicios de la matemática

 Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en una caverna de Sudáfrica de, aproximadamente, 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrones geométricos. También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a.C., que sugieren intentos iníciales de cuantificar el tiempo.

Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales.

El hueso de Ishango, del 20000 al 18 000 a. C.

El hueso de Ishango, del 20000 al 18 000 a. C.Mucho antes de los primeros registros escritos, hay dibujos que indican algún conocimiento de matemáticas elementales y de la medida del tiempo basada en las estrellas. Por ejemplo, los paleontólogos han descubierto rocas de ocre en una caverna de Sudáfrica de, aproximadamente, 70.000 años de antigüedad, que están adornados con hendiduras en forma de patrónes geométricos. También se descubrieron artefactos prehistóricos en África y Francia, datados entre el 35.000 y el 20.000 a.C., que sugieren intentos iniciales de cuantificar el tiempo.

Hay evidencias de que las mujeres inventaron una forma de llevar la cuenta de su ciclo menstrual: de 28 a 30 marcas en un hueso o piedra, seguidas de una marca distintiva. Más aún, los cazadores y pastores empleaban los conceptos de uno, dos y muchos, así como la idea de ninguno o cero, cuando hablaban de manadas de animales.

El hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo, puede datar de antes del 20.000 a. C. Una interpretación común es que el hueso supone la demostración más antigua conocida de una secuencia de números primos y de la multiplicación en el Antiguo Egipto. En el periodo predinástico de Egipto del 5º milenio a.C. se representaban pictóricamente diseños espaciales geométricos. Se ha afirmado que los monumentos megalíticos en Inglaterra y Escocia, del 3er milenio a.C., incorporan ideas geométricas tales como círculos, elipses y ternas pitagóricas en su diseño.

Las primeras matemáticas conocidas en la historia de la India datan del 3000 - 2600 a. C., en la Cultura del Valle del Indo, (civilización Harappa) del norte de la India y Pakistán. Esta civilización desarrolló un sistema de medidas y pesas uniforme que usaba el sistema decimal, una sorprendentemente avanzada tecnología con ladrillos para representar razones, calles dispuestas en perfectos ángulos rectos y una serie de formas geométricas y diseños, incluyendo cuboides, barriles, conos, cilindros y diseños de círculos y triángulos concéntricos y secantes. Los instrumentos matemáticos empleados incluían una exacta regla decimal con subdivisiones pequeñas y precisas, unas estructuras para medir de 8 a 12 secciones completas del horizonte y el cielo y un instrumento para la medida de las posiciones de las estrellas para la navegación. La escritura hindú no ha sido descifrada todavía, de ahí que se sepa muy poco sobre las formas escritas de las matemáticas en Harappa. Hay evidencias arqueológicas que han llevado a algunos a sospechar que esta civilización usaba un sistema de numeración de base octal y tenían un valor para π, la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

Por su parte, las primeras matemáticas en China datan de la Dinastía Shang (1600 - 1046 a.C ) y consisten en números marcados en un caparazón de tortuga. Estos números fueron representados mediante una notación decimal. Por ejemplo, el número 123 se escribía, de arriba a abajo, como el símbolo para el 1 seguido del símbolo para 100, luego el símbolo para el 2 seguido del símbolo para 10 y, por último, el símbolo para el 3. Este era el sistema de numeración más avanzado en su tiempo y permitía hacer cálculos para usarlos con el suanpan o el ábaco chino. La fecha de invención del suanpan no se conoce con certeza, pero la mención escrita más antigua data del 190 d. C., en Notas suplementarias sobre el Arte de las Cifras, de Xu Yue's.

Franklin Johan Díaz Hernández

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Antiguo Oriente Próximo (c. 1800 a. C.–500 a. C.)

http://platea.pntic.mec.es/aperez4/html/presentacion.html

Las desventuras del conocimiento matemático

La primera reacción que tuve al leer el libro de Klimovsky y Boido Las desventuras del conocimiento matemático es de agrado, no sólo por su calidad (en lo cual también se destaca, por supuesto) sino porque está bien escrito. En una época en que muchos universitarios escriben cada vez peor, este libro es, desde el punto de vista del uso de buen castellano, un bálsamo refrescante.

La segunda reacción fue afectiva: recordé el curso de teoría axiomática de conjuntos que tomé con Klimovsky hace más de cuarenta años, curso en cuya parte teórica estudiamos el trabajo de Gödel de 1940 sobre la consistencia de la hipótesis del continuo, y en cuya parte práctica exprimimos el denso libro de Elliott Mendelson de lógica como una naranja, y que seguramente pude aprobar debido en gran medida a la extraordinaria capacidad docente de Klimovsky, que se comprueba también en este trabajo.

Los autores son dos especialistas muy competentes: Gregorio Klimovsky, matemático y lógico, es doctor honoris causa de la Universidad de Buenos Aires, y Guillermo Boido es físico e historiador de la ciencia. Y el tema es interdisciplinario: si bien para leer Las desventuras del conocimiento matemático no es necesario un dominio amplio de las matemáticas (lo puede leer y comprender cualquiera que no las odie) todo aquél que tenga un mínimo interés en la “reina y sirvienta de las ciencias” puede sumergirse con placer en este libro, que en esencia comprende temas de historia y filosofía de la matemática. Además, el trabajo tiende en algún sentido a construir un puente entre las dos culturas de las que hablaba C. P. Snow, la cultura de las ciencias exactas y naturales y la cultura de las humanidades. En ese sentido, hacen falta todavía muchas más obras como ésta.

El libro está organizado en forma histórica. Los temas que barre comienzan con el análisis de Ahmés a Platón, y siguen con Aristóteles y la axiomática clásica, la geometría de Euclides-Hilbert, las geometrías no euclidianas, los sistemas axiomáticos formales, la teoría de conjuntos, la aritmetización de la matemática y, finalmente, llega a Gödel. En general se ven poco estos temas en las carreras de matemática, y en ese sentido este libro puede ser muy útil; más aún, después de leerlo dan deseos de que los autores (u otros) escriban un libro adicional sobre los números imaginarios, la formalización de los “infinitesimales”, el concepto de límite, las dificultades conceptuales que trajeron las introducciones de estos conceptos y cómo se saldaron. Al respecto, me da una cierta envidia que en las ciencias sociales y humanas la evolución de cada una de las disciplinas y sus problemas esenciales están incorporados a los correspondientes programas de estudio, mientras que, desgraciadamente (y por razones comprensibles), no lo están en ciencias exactas y naturales: si me muestran un programa de estudios de, por ejemplo, la carrera de ciencias políticas de alguna prestigiosísima universidad, y en ninguna de las asignaturas figuran en la bibliografía Platón o Maquiavelo, podré decir - sin saber nada de ciencias políticas - que esa carrera es mala, por más prestigiosa que sea la universidad, mientras que es muy difícil leer a los clásicos en ciencias exactas y naturales, aunque más no sea por las dificultades técnicas que trae el hecho de que la nomenclatura ha cambiado mucho, y el estilo antiguo puede resultar muy poco habitual; los Principia de Newton no figuran como bibliografía obligatoria en ninguna carrera de física, y nadie se horroriza por ello.

Respecto de todos estos temas los autores se hacen cuatro preguntas, que discuten a lo largo del libro: ¿De qué hablan las proposiciones de la matemática? ¿Por qué hay que creer en las proposiciones de las matemáticas? ¿Cómo se investiga en matemáticas? ¿Cuál es la relación entre matemáticas y realidad?

Muchos matemáticos trabajan sin plantearse estas preguntas, lo cual tiene pro y también contras: si uno se plantea demasiadas preguntas no puede contestarlas todas, y puede dispersarse y perder eficiencia en su producción científica. Pero si uno no se las plantea, la ciencia se empobrece. Y en la comunidad científica hay demasiados pocos que se las plantean. Bienvenido, pues, Las desventuras del conocimiento matemático, como digno hermano de las Desventuras del conocimiento científico, que el primero de los autores publicó hace algunos años. Puede ser leído tanto por profesionales de la ciencia como por legos curiosos. Vale la pena.

Franklin Johan Díaz Hernández

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Gregorio Klimovsky y Guillermo Boido

AZ Editores, 2005

Por: Pablo Miguel Jacovkis

Universidad de Buenos Aires, Argentina

Las desventuras del conocimiento matemático

Construcción del Conocimiento Matemático

Las matemáticas han sido creadas a través de la historia en un intento por describir, explicar y transformar la realidad, por lo que se asocia a la creación de modelos matemáticos, los cuales describen hechos y fenómenos del mundo real, desde el tamaño de la población hasta fenómenos físicos como la velocidad. El maestro utiliza y crea modelos matemáticos para la   resolución de problemas como principal objetivo para que los alumnos adquieran el conocimiento matemático.

La perspectiva histórica muestra claramente que las matemáticas son un conjunto de conocimientos en evolución continua y que en dicha evolución desempeña a menudo un papel de primer orden su interrelación con otros conocimientos y la necesidad de resolver determinados problemas prácticos.

“De más está decir que la actividad de resolución de problemas ha estado en el corazón mismo de la elaboración de La ciencia matemática.” Hacer matemática es resolver problemas”   , no temen afirmar algunos.

Desde una perspectiva pedagógica es importante para el docente diferenciar,   el proceso de construcción del conocimiento matemático sus características de dicho conocimiento en un estado avanzado de elaboración, deberíamos preguntarnos cómo maestros tradicionales, ¿Cómo se considera que se construye el conocimiento matemático?

En la construcción de los conocimientos lógico-matemáticos se deben tomar   en cuenta ciertas características   que poseen los alumnos para que lleguen a construir un conocimiento significativo, partir de las experiencias concretas concebidas como conocimientos previos, sustentado en abstracciones sucesivas, partiendo de de la necesidad de resolver problemas concretos, propios de los grupos sociales, estrechamente ligado a las particularidades culturales de los pueblos.

Franklin Johan Díaz Hernández

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Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."

Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163–74.

Conceptos erróneos

Lo que cuenta como conocimiento en matemática no se determina mediante experimentación, sino mediante demostraciones. No es la matemática, por lo tanto, una rama de la física (la ciencia con la que históricamente se encuentra más emparentada), puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentación desempeña un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de la investigación en matemáticas.

La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad de problemas esperando solución, así como una infinidad esperando su formulación.

Matemática no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los contables, los avances en matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.

Matemática no significa numerología. La numerología es una pseudociencia que utiliza la aritmética modular para pasar de nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en la intuición.

El lenguaje formal no es una simple extensión de los lenguajes naturales humanos que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español o el francés, por ejemplo) y los lenguajes formales (como el matemático o los lenguajes de programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.

Franklin Johan Díaz Hernández

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Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."

Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163–74.

Derivada.

La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales y del cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, se estudian las ecuaciones diferenciales y de sus soluciones. Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis. Es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo. El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.

Un campo importante en matemática aplicada es el de la estadística, que permite la descripción, el análisis de probabilidad y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.

El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.

A continuación se muestra una lista de las ramas interrelacionadas de las matemáticas:

·         Fundamentos y métodos

Teoría de conjuntos, lógica matemática, teoría de categorías.

Investigación operativa

Teoría de grafos, teoría de juegos, programación entera, programación lineal, Simulación, optimización, método simplex, programación dinámica.

·         Números

Números naturales, números enteros, números racionales, números irracionales, número reales, números complejos, cuaterniones, octoniones, sedeniones, números hiperreales, números infinitos, dígito, sistema de numeración, número p-ádico.

·         Análisis, continuidad y cambio

Cálculo, cálculo vectorial, análisis, ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y teoría del caos, funciones, logaritmo, sucesiones, series, análisis real, Análisis complejo, análisis funcional, álgebra de operadores.

·         Estructuras

Algebra abstracta, teoría de números, álgebra conmutativa, geometría algebraica, teoría de grupos, monoides, análisis, topología, álgebra lineal, teoría de grafos, teoría de categorías.

·         Espacios

Topología, geometría, teoría de haces, geometría algebraica - Geometría diferencial - Topología diferencial - Topología algebraica - Álgebra lineal - Cuaterniones y rotación en el espacio

·         Matemática discreta

Combinatoria, Teoría de conjuntos numerables - Probabilidad discreta - Estadística - Teoría de la computación - Criptografía - Teoría de grafos - Teoría de juegos

·         Matemática aplicada

Estadística, física matemática, matemática financiera, teoría de juegos, optimización, análisis numérico, Lógica difusa.

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Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."

Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163–74.

Ramas de estudio de las matemáticas

La Sociedad Americana de Matemáticas distingue unas 5.000 ramas distintas de matemáticas.26 Dichas ramas están muy interrelacionadas. En una subdivisión amplia de las matemáticas, se distinguen cuatro objetos de estudio básicos: la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.

·         Los diferentes tipos de cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la tecnología.

·         El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas). La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.

·         El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. En su faceta avanzada el surgimiento de la topología da la necesaria y correcta manera de pensar acerca de las nociones de cercanía y continuidad de nuestras concepciones espaciales.

Franklin Johan Díaz Hernández

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Boyer, 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "Los seis casos de ecuaciones dadas dejaban agotadas todas las posibilidades de hallar ecuaciones lineales y cuadráticas con raíz positiva. Así que la sistematizacíon y la exhaustividad en la exposición de Al-Juarismi hizo que lo lectores tuvieran menos dificultades en el dominio de las soluciones."