Ramas de estudio de las matemáticas

La Sociedad Americana de Matemáticas distingue unas 5.000 ramas distintas de matemáticas.26 Dichas ramas están muy interrelacionadas. En una subdivisión amplia de las matemáticas, se distinguen cuatro objetos de estudio básicos: la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.

·         Los diferentes tipos de cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la tecnología.

·         El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo el descubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas). La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.

·         El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. En su faceta avanzada el surgimiento de la topología da la necesaria y correcta manera de pensar acerca de las nociones de cercanía y continuidad de nuestras concepciones espaciales.

Franklin Johan Díaz Hernández

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Boyer, 1991, "The Arabic Hegemony" p. 230) "Los seis casos de ecuaciones dadas dejaban agotadas todas las posibilidades de hallar ecuaciones lineales y cuadráticas con raíz positiva. Así que la sistematizacíon y la exhaustividad en la exposición de Al-Juarismi hizo que lo lectores tuvieran menos dificultades en el dominio de las soluciones."

La construcción individual y colectiva del significado como meta de la educación matemática.

Atendiendo a lo expuesto anteriormente, la principal actividad del alumno consistiría en construir significados asociados a su propia experiencia (incluida la experiencia lingüística). La socialización de este proceso estaría basada en la negociación de tales significados en una comunidad que ha hecho suyo ese proceso constructivo.

En el proceso de construcción de significados se pueden establecer diferentes etapas: se parte de un razonamiento informal, apegado a la experiencia cotidiana, para llegar a un razonamiento más formal en el que la demostración podría explicar las relaciones del marco conceptual.

La matemática da cuenta de la estructura de un mundo ideal, surgido a partir de las acciones interiorizadas del sujeto. Es necesario el empleo de un lenguaje formal para hablar de este mundo ideal. (En el formalismo, los objetos matemáticos se confunden con los nombres formales).

Mediante el lenguaje formal (simbólico) se opera un cambio en el plano de representación: las acciones, que en el plano material se realizan con objetos concretos, en el plano ideal se realizan con símbolos. La abstracción es resultado de un cambio en el nivel de representación.

Los objetos matemáticos se manipulan, se operan al nivel de lo simbólico; estas acciones en el nivel simbólico permiten ir generando una red de relaciones entre diversos objetos. Las sucesivas fases en el tránsito de lo concreto hacia lo abstracto (niveles de pensamiento matemático), van sustancialmente vinculadas a las posibilidades de generar relaciones y estructuras a partir de la operación de los objetos matemáticos.

En la medida en que operamos tales objetos, crece la red de significaciones que los vincula y con ello, el grado de objetividad con el que aparecen en nuestras estructuras cognoscitivas. Se trata de reconocer la naturaleza dual, simbólica y operatoria que hace concretos a los objetos matemáticos, y que permite la actividad básica del estudiante: utilizar los diversos niveles de representación para la construcción del significado.

Franklin Johan Díaz Hernández

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http://pdf.rincondelvago.com/historia-de-las-matematicas.html

La matemática como objeto de aprendizaje: “construyendo conocimiento”

Frente a la pretendida “objetividad” del conocimiento en la concepción formalista y platónica, la perspectiva constructivista afirma que los objetos matemáticos no habitan en un mundo eterno y externo a quien conoce; sino que son producidos, construidos por el individuo en un proceso continuo de reestructuración de sus estructuras cognoscitivas.

Según Piaget, el sujeto se acerca al objeto de conocimiento dotado de ciertas estructuras intelectuales que le permiten “verlo” de cierta manera, y extraer de él una determinada información que será asimilada por dichas estructuras produciendo modificaciones en las mismas. Las observaciones se modifican sucesivamente, según lo hacen las estructuras cognoscitivas del sujeto, construyéndose así el conocimiento sobre el objeto.

Evidentemente, en este enfoque la clave está en la actividad del sujeto, por lo que no hay objeto de enseñanza, sino de aprendizaje. Ahora, el conocimiento matemático es resultado de la reflexión del individuo sobre acciones interiorizadas (abstracción reflexiva). La matemática no es un cuerpo codificado de conocimientos, sino esencialmente una actividad.

Pero cabría aún añadir la perspectiva socio-cultural: el conocimiento es contextual y construido socialmente. Conocer es actuar, ir dando significados (socialmente definidos) al objeto para determinarlo conceptualmente y, además, es comprender de manera que nos permita compartir con otros el conocimiento y formar así una comunidad de negociación de significados.

La labor del docente consistiría en diseñar y presentar situaciones que, apelando a las estructuras anteriores (más primitivas) de que el estudiante dispone, le permitan asimilar y acomodar nuevos significados del objeto de aprendizaje y nuevas operaciones asociadas a él. Después, se compartirían estos significados con el resto de alumnos, el profesor y los textos. Se llega así a una construcción personal, pero también social, del conocimiento.

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Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."

Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163–74.

La matemática como objeto de enseñanza: “transmitiendo conocimiento”

Desde la perspectiva formalista, la matemática puede ser concebida como un objeto de enseñanza. Podríamos afirmar que el matemático “descubre” el conocimiento en una realidad externa a él, es decir,  el cocimiento matemático ya existe y está ahí esperando a ser puesto de manifiesto. Una vez descubierto, tan sólo es necesario 'justificarlo' dentro de una estructura formal y queda listo para ser enseñado.

Acogido a esta concepción, la labor del profesor consistiría en transmitir unos conocimientos que el alumno debe recoger y decodificar sin modificarlos. La evaluación se limitaría a contabilizar cuantos contenidos del discurso del profesor es capaz de reproducir el alumno. La didáctica sería la responsable de optimizar la secuencia de contenidos y poner énfasis en el contexto de justificación como estado superior de conocimiento.

Franklin Johan Díaz Hernández

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 http://www.bbc.co.uk/radio4/history/inourtime/inourtime_20061214.shtml Indian Maths (BBC)

Dos concepciones ontológicas

Las acciones de descubrir e inventar nos lleva en la actividad matemática a dos concepciones ontológicas diferentes. La primera, supone aceptar que los objetos matemáticos y las relaciones entre ellos tienen un carácter objetivo, la segunda, por el contrario, dota de subjetividad a estos objetos y sus relaciones. Concepciones que se referencian bajo los nombres de platonismo y constructivismo, respectivamente.

Para Platón los objetos matemáticos no están en continuidad con los objetos sensibles, su existencia es independiente de ellos. Tampoco son producto del pensamiento humano. Los objetos matemáticos pertenecen a un tercer mundo de naturaleza diferente a los dos anteriores, Popper (1974).

Hacer matemáticas en esta concepción filosófica, consiste en el proceso de descubrimiento de sus relaciones preexistentes. El trabajo del matemático platónico es un trabajo empirista, dado que no inventa sino que descubre los conceptos matemáticos. Utiliza para ello fundamentalmente la percepción y la intuición matemática.

El formalismo y el intuicionismo comparten el carácter exacto, independiente de toda experiencia, de las leyes matemáticas. Es el papel que los formalistas otorgan a la lógica y al lenguaje en la actividad matemática y en la fundamentación de los resultados lo que provoca la separación entre las dos escuelas.

Franklin Johan Díaz Hernández

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http://html.rincondelvago.com/historia-de-las-matematicas.html

Etimología

La palabra "matemática" (del griego μαθηματικά, «lo que se aprende») viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se contrapone a μουσική (musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética). Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa "el arte matemática".

La forma plural matemáticas viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego τα μαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosas matemáticas".

Franklin Johan Díaz Hernández

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 Sir Thomas L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p. 1: "In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who first made mathematics a science."

Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163–74.

Euclides

Matemático griego, del siglo III a. C., tal como fue imaginado por Rafael. Detalle de La Escuela de Atenas.

Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una ciencia que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones cuantitativas entre los entes abstractos (números, figuras geométricas, símbolos).Mediante las matemáticas conocemos las cantidades, las estructuras, el espacio y los cambios. Los matemáticos buscan patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.

Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o si provienen de la imaginación humana. El matemático Benjamín Peirce definió las matemáticas como "la ciencia que señala las conclusiones necesarias". Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son ciertas; cuando son ciertas, no se refieren a la realidad".

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en las cuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetos físicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico (véase: Historia de la matemática). Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica, especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuas interrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevos descubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta la actualidad.

Hoy en día, las Matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre los que se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que, aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica). Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos a otros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen al desarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta la aplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con el paso del tiempo.



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